一段自然语言文本可以看作是一个离散时间序列，给定一个长度为$T$的词的序列$w_1, w_2, \ldots, w_T$，语言模型的目标就是评估该序列是否合理，即计算该序列的概率：
$$ P(w_1, w_2, \ldots, w_T). $$本节我们介绍基于统计的语言模型，主要是$n$元语法（$n$-gram）。在后续内容中，我们将会介绍基于神经网络的语言模型。
假设序列$w_1, w_2, \ldots, w_T$中的每个词是依次生成的，我们有
$$ \begin{align*} P(w_1, w_2, \ldots, w_T) &= \prod_{t=1}^T P(w_t \mid w_1, \ldots, w_{t-1})\\ &= P(w_1)P(w_2 \mid w_1) \cdots P(w_T \mid w_1w_2\cdots w_{T-1}) \end{align*} $$例如，一段含有4个词的文本序列的概率
$$ P(w_1, w_2, w_3, w_4) = P(w_1) P(w_2 \mid w_1) P(w_3 \mid w_1, w_2) P(w_4 \mid w_1, w_2, w_3). $$语言模型的参数就是词的概率以及给定前几个词情况下的条件概率。设训练数据集为一个大型文本语料库，如维基百科的所有条目，词的概率可以通过该词在训练数据集中的相对词频来计算，例如，$w_1$的概率可以计算为：
$$ \hat P(w_1) = \frac{n(w_1)}{n} $$其中$n(w_1)$为语料库中以$w_1$作为第一个词的文本的数量，$n$为语料库中文本的总数量。
类似的，给定$w_1$情况下，$w_2$的条件概率可以计算为：
$$ \hat P(w_2 \mid w_1) = \frac{n(w_1, w_2)}{n(w_1)} $$其中$n(w_1, w_2)$为语料库中以$w_1$作为第一个词，$w_2$作为第二个词的文本的数量。
序列长度增加，计算和存储多个词共同出现的概率的复杂度会呈指数级增加。$n$元语法通过马尔可夫假设简化模型，马尔科夫假设是指一个词的出现只与前面$n$个词相关，即$n$阶马尔可夫链（Markov chain of order $n$），如果$n=1$，那么有$P(w_3 \mid w_1, w_2) = P(w_3 \mid w_2)$。基于$n-1$阶马尔可夫链，我们可以将语言模型改写为
$$ P(w_1, w_2, \ldots, w_T) = \prod_{t=1}^T P(w_t \mid w_{t-(n-1)}, \ldots, w_{t-1}) . $$以上也叫$n$元语法（$n$-grams），它是基于$n - 1$阶马尔可夫链的概率语言模型。例如，当$n=2$时，含有4个词的文本序列的概率就可以改写为：
$$ \begin{align*} P(w_1, w_2, w_3, w_4) &= P(w_1) P(w_2 \mid w_1) P(w_3 \mid w_1, w_2) P(w_4 \mid w_1, w_2, w_3)\\ &= P(w_1) P(w_2 \mid w_1) P(w_3 \mid w_2) P(w_4 \mid w_3) \end{align*} $$当$n$分别为1、2和3时，我们将其分别称作一元语法（unigram）、二元语法（bigram）和三元语法（trigram）。例如，长度为4的序列$w_1, w_2, w_3, w_4$在一元语法、二元语法和三元语法中的概率分别为
$$ \begin{aligned} P(w_1, w_2, w_3, w_4) &= P(w_1) P(w_2) P(w_3) P(w_4) ,\\ P(w_1, w_2, w_3, w_4) &= P(w_1) P(w_2 \mid w_1) P(w_3 \mid w_2) P(w_4 \mid w_3) ,\\ P(w_1, w_2, w_3, w_4) &= P(w_1) P(w_2 \mid w_1) P(w_3 \mid w_1, w_2) P(w_4 \mid w_2, w_3) . \end{aligned} $$当$n$较小时，$n$元语法往往并不准确。例如，在一元语法中，由三个词组成的句子“你走先”和“你先走”的概率是一样的。然而，当$n$较大时，$n$元语法需要计算并存储大量的词频和多词相邻频率。
思考：$n$元语法可能有哪些缺陷？
with open('/home/kesci/input/jaychou_lyrics4703/jaychou_lyrics.txt') as f:
corpus_chars = f.read()
print(len(corpus_chars))
print(corpus_chars[: 40])
corpus_chars = corpus_chars.replace('\n', ' ').replace('\r', ' ')
corpus_chars = corpus_chars[: 10000]
idx_to_char = list(set(corpus_chars)) # 去重，得到索引到字符的映射
char_to_idx = {char: i for i, char in enumerate(idx_to_char)} # 字符到索引的映射
vocab_size = len(char_to_idx)
print(vocab_size)
corpus_indices = [char_to_idx[char] for char in corpus_chars] # 将每个字符转化为索引，得到一个索引的序列
sample = corpus_indices[: 20]
print('chars:', ''.join([idx_to_char[idx] for idx in sample]))
print('indices:', sample)
定义函数load_data_jay_lyrics，在后续章节中直接调用。
def load_data_jay_lyrics():
with open('/home/kesci/input/jaychou_lyrics4703/jaychou_lyrics.txt') as f:
corpus_chars = f.read()
corpus_chars = corpus_chars.replace('\n', ' ').replace('\r', ' ')
corpus_chars = corpus_chars[0:10000]
idx_to_char = list(set(corpus_chars))
char_to_idx = dict([(char, i) for i, char in enumerate(idx_to_char)])
vocab_size = len(char_to_idx)
corpus_indices = [char_to_idx[char] for char in corpus_chars]
return corpus_indices, char_to_idx, idx_to_char, vocab_size
在训练中我们需要每次随机读取小批量样本和标签。与之前章节的实验数据不同的是，时序数据的一个样本通常包含连续的字符。假设时间步数为5，样本序列为5个字符，即“想”“要”“有”“直”“升”。该样本的标签序列为这些字符分别在训练集中的下一个字符，即“要”“有”“直”“升”“机”，即$X$=“想要有直升”，$Y$=“要有直升机”。
现在我们考虑序列“想要有直升机，想要和你飞到宇宙去”，如果时间步数为5，有以下可能的样本和标签：
可以看到，如果序列的长度为$T$，时间步数为$n$，那么一共有$T-n$个合法的样本，但是这些样本有大量的重合，我们通常采用更加高效的采样方式。我们有两种方式对时序数据进行采样，分别是随机采样和相邻采样。
下面的代码每次从数据里随机采样一个小批量。其中批量大小batch_size是每个小批量的样本数，num_steps是每个样本所包含的时间步数。
在随机采样中，每个样本是原始序列上任意截取的一段序列，相邻的两个随机小批量在原始序列上的位置不一定相毗邻。
import torch
import random
def data_iter_random(corpus_indices, batch_size, num_steps, device=None):
# 减1是因为对于长度为n的序列，X最多只有包含其中的前n - 1个字符
num_examples = (len(corpus_indices) - 1) // num_steps # 下取整，得到不重叠情况下的样本个数
example_indices = [i * num_steps for i in range(num_examples)] # 每个样本的第一个字符在corpus_indices中的下标
random.shuffle(example_indices)
def _data(i):
# 返回从i开始的长为num_steps的序列
return corpus_indices[i: i + num_steps]
if device is None:
device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
for i in range(0, num_examples, batch_size):
# 每次选出batch_size个随机样本
batch_indices = example_indices[i: i + batch_size] # 当前batch的各个样本的首字符的下标
X = [_data(j) for j in batch_indices]
Y = [_data(j + 1) for j in batch_indices]
yield torch.tensor(X, device=device), torch.tensor(Y, device=device)
测试一下这个函数，我们输入从0到29的连续整数作为一个人工序列，设批量大小和时间步数分别为2和6，打印随机采样每次读取的小批量样本的输入X和标签Y。
my_seq = list(range(30))
for X, Y in data_iter_random(my_seq, batch_size=2, num_steps=6):
print('X: ', X, '\nY:', Y, '\n')
在相邻采样中，相邻的两个随机小批量在原始序列上的位置相毗邻。
def data_iter_consecutive(corpus_indices, batch_size, num_steps, device=None):
if device is None:
device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
corpus_len = len(corpus_indices) // batch_size * batch_size # 保留下来的序列的长度
corpus_indices = corpus_indices[: corpus_len] # 仅保留前corpus_len个字符
indices = torch.tensor(corpus_indices, device=device)
indices = indices.view(batch_size, -1) # resize成(batch_size, )
batch_num = (indices.shape[1] - 1) // num_steps
for i in range(batch_num):
i = i * num_steps
X = indices[:, i: i + num_steps]
Y = indices[:, i + 1: i + num_steps + 1]
yield X, Y
同样的设置下，打印相邻采样每次读取的小批量样本的输入X和标签Y。相邻的两个随机小批量在原始序列上的位置相毗邻。
for X, Y in data_iter_consecutive(my_seq, batch_size=2, num_steps=6):
print('X: ', X, '\nY:', Y, '\n')